Toán Olimpia

Vài bài tập cho những ai thích nghiên cứu. Chỉ cần kiến thứ cơ sở (2 năm đầu đại học), nhưng phải suy luận.

Bài 1.
 Gọi \mathbb{R}^2 là mặt phẳng với khoảng cách Euclide thông thường. Giả sử f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách 1. (Tức là nếu d(x,y)=1 thì d(f(x),f(y)) = 1
trong đó d ký hiệu khoảng cách Euclide). Chứng minh rằng f là một đẳng cự a-fin (affine isometry).

Bài 2. Cho X là một miền lồi compact trong \mathbb{R}^2 với khoảng cách Euclide thông thường và gọi \delta là đường kính của X. Gọi z là một điểm bất kỳ của \mathbb{R}^2. Chứng minh rằng khoảng cách trung bình từ z đến các điểm của X lớn hơn hoặc bằng \delta / 12. (Khi nào dấu bằng xảy ra ?)

Bài 3. (Bất đẳng thức nội suy Kolmogorov) Giả sử f là một hàm thực khả vi liên tục 2 lần sao cho f
và f'' có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.

a) Chứng minh rằng f' cũng có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.
b) Chứng minh rằng
(\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)^2 \leq (\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)(\int_{\mathbb R} (f''(x))^2 dx)
c) Chứng minh rằng f liên tục đều trên \mathbb{R}^2 và tiến tới 0 tại vô cùng.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s